Murtolukujen käsittely: Rationaalilukujen aritmetiikan hallinta kansainväliselle yleisölle

Matematiikan laajassa kentässä rationaaliluvut ovat perustavanlaatuinen rakennuspalikka, joka tukee käsitteitä arjen mittauksista edistyneisiin tieteellisiin teorioihin. Rationaalilukujen ymmärtämisen ytimessä on "murtolukujen käsittely", matemaattisen lukutaidon keskeinen osa-alue. Tämä kattava opas on suunniteltu selventämään murtolukujen maailmaa ja tarjoamaan maailmanlaajuisen näkökulman niiden laskutoimituksiin, sovelluksiin ja hallitsemiseen vaadittaviin taitoihin.

Olitpa sitten opiskelija, joka kohtaa murtoluvut ensimmäistä kertaa, opettaja, joka haluaa tehostaa opetusmenetelmiään, tai ammattilainen, joka pyrkii vahvistamaan määrällisiä taitojaan, tämä opas antaa sinulle vankan ymmärryksen rationaalilukujen aritmetiikasta. Syvennymme perusperiaatteisiin, tutkimme monipuolisia kansainvälisiä esimerkkejä ja tarjoamme käytännön oivalluksia, jotka ylittävät kulttuuriset ja maantieteelliset rajat.

Mitä ovat rationaaliluvut?

Ennen kuin syvennymme murtolukujen laskennan mekaniikkaan, on tärkeää määritellä kohteemme. Rationaaliluku on mikä tahansa luku, joka voidaan esittää murtolukuna $\frac{p}{q}$, missä $p$ (osoittaja) ja $q$ (nimittäjä) ovat molemmat kokonaislukuja, ja $q$ ei ole nolla ($q \neq 0$).

Rationaalilukujen joukko, jota usein merkitään symbolilla $\mathbb{Q}$, sisältää:

• Kokonaisluvut: Jokainen kokonaisluku voidaan kirjoittaa murtolukuna, jonka nimittäjä on 1 (esim. 5 voidaan kirjoittaa muodossa $\frac{5}{1}$).
• Päättyvät desimaaliluvut: Desimaaliluvut, jotka päättyvät äärellisen määrän numeroita jälkeen, voidaan esittää murtolukuina (esim. 0,75 on yhtä suuri kuin $\frac{3}{4}$).
• Jaksolliset desimaaliluvut: Desimaaliluvut, joissa on toistuva numerosarja, voidaan myös esittää murtolukuina (esim. 0,333... on yhtä suuri kuin $\frac{1}{3}$).

Tämän määritelmän ymmärtäminen on ensimmäinen askel kohti rationaalilukujen yleismaailmallisuuden ja hyödyllisyyden arvostamista.

Rakennuspalikat: Murtolukumerkintöjen ja termistön ymmärtäminen

Murtoluvut esitetään tyypillisesti muodossa:

$\frac{\text{Osoittaja}}{\text{Nimittäjä}}$

Missä:

• Osoittaja: Ylempi luku, joka osoittaa, kuinka monta osaa kokonaisuudesta meillä on.
• Nimittäjä: Alempi luku, joka osoittaa, kuinka moneen yhtä suureen osaan kokonaisuus on jaettu.

Tarkastelemme erityyppisiä murtolukuja:

Aitomurtoluvut

Aitomurtoluvussa osoittaja on pienempi kuin nimittäjä. Tämä tarkoittaa arvoa, joka on pienempi kuin yksi kokonainen. Esimerkiksi $\frac{2}{5}$ on aitomurtoluku.

Epämurtoluvut

Epämurtoluvussa osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä. Tämä tarkoittaa arvoa, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin yksi kokonainen. Esimerkiksi $\frac{7}{3}$ on epämurtoluku.

Sekaluvut

Sekaluku yhdistää kokonaisluvun ja aitomurtoluvun. Se on kätevä tapa esittää yhtä suurempia määriä. Esimerkiksi $2\frac{1}{3}$ edustaa kahta kokonaista ja yhtä kolmasosaa toisesta kokonaisesta.

Yhtäsuuret murtoluvut ja sieventäminen

Kahta murtolukua pidetään yhtäsuurina, jos ne edustavat samaa arvoa, vaikka niillä olisikin eri osoittajat ja nimittäjät. Tämä on peruskäsite murtolukujen laskutoimituksissa.

Yhtäsuurten murtolukujen löytäminen:

Löytääksesi yhtäsuuren murtoluvun voit kertoa tai jakaa sekä osoittajan että nimittäjän samalla nollasta poikkeavalla luvulla. Tämä prosessi ei muuta murtoluvun arvoa, koska kerrot tai jaat käytännössä luvulla 1 (esim. $\frac{2}{2} = 1$, $\frac{5}{5} = 1$).

Esimerkki:

Tarkastellaan murtolukua $\frac{1}{2}$.

• Kerrotaan luvulla $\frac{3}{3}$: $\frac{1}{2} \times \frac{3}{3} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$. Joten $\frac{1}{2}$ on yhtä suuri kuin $\frac{3}{6}$.
• Kerrotaan luvulla $\frac{5}{5}$: $\frac{1}{2} \times \frac{5}{5} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$. Joten $\frac{1}{2}$ on yhtä suuri kuin $\frac{5}{10}$.

Murtolukujen sieventäminen (supistaminen yksinkertaisimpaan muotoon):

Murtoluvun sieventäminen tarkoittaa sen kirjoittamista yhtäsuuressa muodossa, jossa osoittajalla ja nimittäjällä ei ole muita yhteisiä tekijöitä kuin 1. Tämä saavutetaan jakamalla sekä osoittaja että nimittäjä niiden suurimmalla yhteisellä tekijällä (SYT).

Esimerkki:

Sievennä murtoluku $\frac{12}{18}$.

1. Etsi lukujen 12 ja 18 suurin yhteinen tekijä. Luvun 12 tekijät ovat 1, 2, 3, 4, 6, 12. Luvun 18 tekijät ovat 1, 2, 3, 6, 9, 18. SYT on 6.
2. Jaa sekä osoittaja että nimittäjä luvulla 6: $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$.

Siksi murtoluvun $\frac{12}{18}$ sievennetty muoto on $\frac{2}{3}$.

Maailmanlaajuinen merkitys: Sieventämisen ymmärtäminen on ratkaisevan tärkeää kansainvälisessä kaupassa ja standardoiduissa testeissä, joissa yhdenmukaiset numeeriset esitystavat ovat elintärkeitä. Esimerkiksi verrattaessa eri maailmanlaajuisten toimittajien materiaalimäärityksiä, kaikkien mittojen varmistaminen niiden yksinkertaisimmassa murtolukumuodossa helpottaa tarkkaa arviointia.

Murtolukujen laskutoimitukset

Neljän peruslaskutoimituksen (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku) hallitseminen murtoluvuilla on keskeistä murtolukujen käsittelyssä.

1. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku

Murtolukujen yhteen- tai vähennyslaskua varten niillä on oltava yhteinen nimittäjä. Jos nimittäjät ovat jo samat, lasket yksinkertaisesti osoittajat yhteen tai vähennät ne toisistaan ja säilytät yhteisen nimittäjän.

Tapaus 1: Samat nimittäjät

Esimerkki (Yhteenlasku): $\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7}$

Esimerkki (Vähennyslasku): $\frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{6-1}{8} = \frac{5}{8}$

Tapaus 2: Eri nimittäjät

Jos nimittäjät ovat erilaiset, sinun on löydettävä kummallekin yhtä suuri murtoluku, jolla on yhteinen nimittäjä. Tehokkain yhteinen nimittäjä on alkuperäisten nimittäjien pienin yhteinen monikerta (PYM).

Esimerkki (Yhteenlasku): $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

1. Etsi lukujen 3 ja 4 pienin yhteinen monikerta (PYM). Luvun 3 monikerrat ovat 3, 6, 9, 12, 15... Luvun 4 monikerrat ovat 4, 8, 12, 16... PYM on 12.
2. Muunna $\frac{1}{3}$ yhtä suureksi murtoluvuksi, jonka nimittäjä on 12: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{4} = \frac{4}{12}$.
3. Muunna $\frac{1}{4}$ yhtä suureksi murtoluvuksi, jonka nimittäjä on 12: $\frac{1}{4} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{12}$.
4. Laske nyt murtoluvut yhteen: $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$.

Esimerkki (Vähennyslasku): $\frac{5}{6} - \frac{1}{2}$

1. Lukujen 6 ja 2 pienin yhteinen monikerta on 6.
2. Muunna $\frac{1}{2}$ yhtä suureksi murtoluvuksi, jonka nimittäjä on 6: $\frac{1}{2} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{6}$.
3. Vähennä: $\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6}$.
4. Sievennä tulos: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Kansainvälinen sovellus: Useissa maissa toteutettavissa rakennusprojekteissa insinöörien saattaa tarvita laskea yhteen mittoja, jotka on annettu eri murtolukuihin perustuvissa tuumastandardeissa (esim. pohjoisamerikkalaiset vs. vanhat brittiläiset standardit). Yhteisten nimittäjien johdonmukainen käyttö on elintärkeää tarkoissa materiaalilaskelmissa.

2. Murtolukujen kertolasku

Murtolukujen kertominen on suoraviivaista: kerro osoittajat keskenään ja kerro nimittäjät keskenään.

Kaava: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

Esimerkki: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$

$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$

Kertolasku kokonaisluvuilla: Kertoaksesi murtoluvun kokonaisluvulla, käsittele kokonaislukua murtolukuna, jonka nimittäjä on 1.

Esimerkki: $3 \times \frac{1}{4}$

$3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{3 \times 1}{1 \times 4} = \frac{3}{4}$

Sieventäminen ennen kertolaskua: Voit usein sieventää ennen kertolaskua supistamalla yhteisiä tekijöitä eri murtolukujen osoittajan ja nimittäjän välillä.

Esimerkki: $\frac{3}{8} \times \frac{4}{9}$

• Huomaa, että luvuilla 3 ja 9 on yhteinen tekijä 3.
• Huomaa, että luvuilla 8 ja 4 on yhteinen tekijä 4.
• Sievennä: $\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{8}^2} \times \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}^3} = \frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$

Maailmanlaajuinen sovellus: Reseptien skaalaamisessa ainesosien määrien kertominen on yleistä. Neljälle hengelle tarkoitettu resepti saatetaan joutua muuttamaan kymmenelle, mikä vaatii murtoluvuilla skaalaamista. Vastaavasti suhteellisten resurssien jakamisen laskeminen kansainvälisessä projektinhallinnassa perustuu usein murtolukujen kertolaskuun.

3. Murtolukujen jakolasku

Murtoluvulla jakaminen on sama kuin sen käänteisluvulla kertominen. Murtoluvun $\frac{a}{b}$ käänteisluku on $\frac{b}{a}$.

Kaava: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$

Esimerkki: $\frac{1}{2} \div \frac{3}{4}$

1. Etsi murtoluvun $\frac{3}{4}$ käänteisluku, joka on $\frac{4}{3}$.
2. Kerro: $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6}$.
3. Sievennä: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Jakolasku kokonaisluvuilla: Jakaaksesi kokonaisluvun murtoluvulla, kirjoita kokonaisluku murtolukuna (nimittäjä 1). Jakaaksesi murtoluvun kokonaisluvulla, kirjoita kokonaisluku murtolukuna ja jatka.

Esimerkki: $5 \div \frac{2}{3}$

$5 \div \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$

Esimerkki: $\frac{3}{4} \div 2$

$\frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4} \div \frac{2}{1} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$

Maailmanlaajuinen konteksti: Kuvittele jakavasi tietyn määrän jaettuja resursseja (esim. kaistanleveyttä, budjettia) useiden tiimien tai projektien kesken maailmanlaajuisesti. Murtolukujen jakolasku auttaa määrittämään tasapuoliset osuudet. Jos yrityksellä on jäljellä $\frac{3}{4}$ vuotuisesta budjetistaan ja se on jaettava tasan kolmen kansainvälisen osaston kesken, murtolukujen jakolasku on avainasemassa.

Sekalukujen käsittely

Sekaluvut ovat usein intuitiivisempia ilmaistaessa todellisen maailman määriä. Laskutoimituksia varten on kuitenkin yleensä parasta muuntaa ne epämurtoluvuiksi.

Sekalukujen muuntaminen epämurtoluvuiksi

Muuntaaksesi sekaluvun $a\frac{b}{c}$ epämurtoluvuksi:

Kaava: $\frac{(a \times c) + b}{c}$

Esimerkki: Muunna $2\frac{3}{5}$ epämurtoluvuksi.

$a=2, b=3, c=5$.

$\frac{(2 \times 5) + 3}{5} = \frac{10 + 3}{5} = \frac{13}{5}$

Epämurtolukujen muuntaminen sekaluvuiksi

Muuntaaksesi epämurtoluvun $\frac{p}{q}$ sekaluvuksi:

1. Jaa osoittaja ($p$) nimittäjällä ($q$).
2. Osamäärä on sekaluvun kokonaislukuosa.
3. Jakojäännös on uusi osoittaja.
4. Nimittäjä pysyy samana.

Esimerkki: Muunna $\frac{17}{4}$ sekaluvuksi.

1. Jaa 17 luvulla 4: $17 \div 4 = 4$ ja jakojäännös on 1.
2. Osamäärä on 4 (kokonaisluku).
3. Jakojäännös on 1 (uusi osoittaja).
4. Nimittäjä on 4.

Joten $\frac{17}{4}$ on yhtä suuri kuin $4\frac{1}{4}$.

Laskutoimitukset sekaluvuilla

Kun sekaluvut on muunnettu epämurtoluvuiksi, ne voidaan laskea yhteen, vähentää, kertoa tai jakaa aiemmin käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti.

Esimerkki (Yhteenlasku): $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4}$

1. Muunna epämurtoluvuiksi: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ja $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
2. Laske yhteen: $\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$. Etsi yhteinen nimittäjä (4): $\frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{15}{4}$.
3. Muunna takaisin sekaluvuksi: $\frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$.

Esimerkki (Kertolasku): $3\frac{1}{3} \times 1\frac{1}{2}$

1. Muunna epämurtoluvuiksi: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ ja $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
2. Kerro: $\frac{10}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{30}{6}$.
3. Sievennä ja muunna sekaluvuksi: $\frac{30}{6} = 5$.

Käytännön sovellus: Kuvittele koordinoivasi logistiikkaa maailmanlaajuisessa rahtiyhtiössä. Eri konttikoot saatetaan mitata sekalukuina metreinä tai jalkoina. Kokonaistilavuuden tai tarvittavien konttien määrän laskeminen sekalähetykselle vaatii sekalukujen aritmetiikan hallintaa.

Murtoluvut todellisessa maailmassa: Maailmanlaajuiset sovellukset

Murtolukujen käsittely ei ole vain akateeminen harjoitus; se on elintärkeä työkalu maailman ymmärtämiseen ja siinä toimimiseen.

1. Mittaaminen ja suhteet

Ruoanlaittoresepteistä, jotka vaativat $\frac{1}{2}$ teelusikallista maustetta, rakennuspiirustuksiin, joissa määritellään pituuksia kuten $5\frac{3}{4}$ tuumaa, murtoluvut ovat kaikkialla mittaamisessa.

Maailmanlaajuinen esimerkki: Kansainvälinen keittiö käyttää usein metrisiä mittoja, mutta monet perinteiset reseptit ympäri maailmaa perustuvat tilavuusmittoihin (kupit, lusikat), jotka ovat luonnostaan murtolukuja. Näiden murtolukujen ymmärtäminen takaa aitouden valmistettaessa ruokia eri kulttuureista.

2. Rahoitus ja taloustiede

Korot ilmaistaan usein prosentteina (jotka ovat sadasosia), osakekurssien liikkeet voivat olla valuuttayksikön murto-osia, ja talousindikaattorit raportoidaan usein murtolukumuutoksina.

Maailmanlaajuinen esimerkki: Valuuttakurssit ovat täydellinen esimerkki. Kurssi voi olla 1 USD = 0.92 EUR. Vaikka tämä on desimaaliluku, se edustaa suhdetta, ja tällaisten suhteiden käsittelyn ymmärtäminen on verrattavissa murtolukujen aritmetiikkaan. Sijoitusmahdollisuuksien vertailu eri markkinoilla vaatii usein murtolukutuottojen ymmärtämistä.

3. Tiede ja tekniikka

Fysiikassa kaavat sisältävät usein suhteita ja verrantoja. Kemiassa liuosten pitoisuudet ilmaistaan murtolukuina tai prosentteina. Insinööritieteet tukeutuvat vahvasti murtolukuihin laskiessaan jännitystä, venymää, vääntömomenttia ja tehokkuutta.

Maailmanlaajuinen esimerkki: Lentokoneiden suunnittelu sisältää monimutkaisia laskelmia, joissa aerodynaaminen tehokkuus ilmaistaan usein nostovoiman ja vastuksen välisenä murtolukusuhteena. Maailmanlaajuisten ilmailu- ja avaruusalan yritysten on käytettävä yhdenmukaisia murtolukuesityksiä varmistaakseen turvallisuuden ja suorituskyvyn eri sääntely-ympäristöissä.

4. Data-analyysi ja tilastotiede

Dataa analysoitaessa murtolukuja käytetään edustamaan osuuksia, todennäköisyyksiä ja trendejä. Esimerkiksi tutkimuksessa saatetaan todeta, että $\frac{2}{3}$ vastaajista suosii tiettyä tuotetta.

Maailmanlaajuinen esimerkki: Monikansallinen yritys, joka analysoi markkinaosuuttaan, saattaa todeta, että sen tuotteella on $\frac{1}{5}$ markkinoista alueella A ja $\frac{1}{10}$ alueella B. Ymmärtääkseen kokonaisvaltaisen maailmanlaajuisen markkinaosuuden nämä murtoluvut on laskettava tarkasti yhteen.

Yleiset sudenkuopat ja niiden välttäminen

Vankasta ymmärryksestä huolimatta yleisiä virheitä voi sattua. Näiden sudenkuoppien tiedostaminen voi parantaa tarkkuutta merkittävästi:

• Nimittäjien yhteen/vähennyslasku: Hyvin yleinen virhe on laskea yhteen tai vähentää nimittäjiä, kun ne ovat erilaiset, unohtaen yhteisen nimittäjän tarpeen. Etsi aina ensin PYM.
• Käänteisluvun virheellinen käyttö jakolaskussa: Varmista, että kerrot oikealla käänteisluvulla, kun jaat murtolukuja.
• Sieventämisen unohtaminen: Vaikka se ei ole aina pakollista, murtolukujen jättäminen sieventämättä voi johtaa virheisiin myöhemmissä laskelmissa ja vaikeuttaa tulosten tulkintaa.
• Kerto- ja yhteenlaskusääntöjen sekoittaminen: Muista, että kertolasku on suoraviivaista (osoittaja x osoittaja, nimittäjä x nimittäjä), kun taas yhteen- ja vähennyslasku vaatii yhteisen nimittäjän.
• Virheet sekalukujen kanssa: Virheellinen muuntaminen sekaluvuiksi tai epämurtoluvuiksi tai yritys laskea sekaluvuilla suoraan ilman muuntamista voi johtaa virheisiin.

Käytännön neuvo: Kirjoita jokaisen laskutoimitustyypin sääntö tai kaava selkeästi muistiin ennen kuin aloitat tehtävän ratkaisemisen. Tämä toimii jatkuvana muistutuksena ja vähentää kriittisen vaiheen unohtamisen mahdollisuutta.

Strategiat taidon hallitsemiseksi

Murtolukujen käsittelyn hallitseminen vaatii johdonmukaista harjoittelua ja strategista lähestymistapaa:

• Visualisoi: Käytä kaavioita (kuten murtolukupalkkeja tai ympyrädiagrammeja) ymmärtääksesi kokonaisuuden osien käsitettä, erityisesti kun opettelet uusia laskutoimituksia.
• Harjoittele säännöllisesti: Ratkaise erilaisia tehtäviä, aloittaen yksinkertaisemmista ja lisäten vähitellen monimutkaisuutta.
• Ymmärrä "miksi": Älä vain opettele kaavoja ulkoa. Ymmärrä jokaisen laskutoimituksen logiikka. Miksi tarvitsemme yhteisen nimittäjän? Miksi kerromme käänteisluvulla?
• Etsi monipuolisia esimerkkejä: Työskentele eri alojen ja kulttuurien todellisia tilanteita heijastavien ongelmien parissa. Tämä tekee oppimisprosessista kiinnostavamman ja merkityksellisemmän.
• Tee yhteistyötä ja keskustele: Työskentele opiskelutovereiden tai opettajien kanssa keskustellaksesi haastavista ongelmista. Käsitteen selittäminen toiselle on tehokas tapa vahvistaa omaa ymmärrystäsi.
• Käytä verkkoresursseja: Lukuisat opetusympäristöt tarjoavat interaktiivisia harjoituksia, video-opetusohjelmia ja tietokilpailuja erityisesti murtoluvuista.

Maailmanlaajuinen vinkki: Kun opiskelet murtolukuja, yritä löytää esimerkkejä, jotka liittyvät päivittäin kohtaamiisi asioihin sijainnistasi riippumatta. Olipa kyse ruoan jakamisesta, etäisyyksien laskemisesta tai aikavyöhykkeiden ymmärtämisestä, murtoluvut ovat todennäköisesti mukana.

Yhteenveto

Murtolukujen käsittely on enemmän kuin vain joukko matemaattisia sääntöjä; se on kvantitatiivisen päättelyn peruskieli, joka ylittää rajat. Hallitsemalla rationaalilukujen, yhtäsuurten murtolukujen, sieventämisen sekä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskun perusteet saat tehokkaan työkalun ongelmanratkaisuun lukemattomissa maailmanlaajuisissa yhteyksissä.

Ota haaste vastaan, harjoittele ahkerasti ja näe murtoluvut esteen sijaan porttina syvempään ymmärrykseen ympäröivästä kvantitatiivisesta maailmasta. Matkasi murtolukujen parissa on investointi analyyttisiin kykyihisi, jotka ovat sovellettavissa niin kansainvälisessä liiketoiminnassa, tieteellisessä tutkimuksessa kuin arjen mittausten ymmärtämisessä.

Jatka harjoittelua, ja pian huomaat, että rationaalilukujen aritmetiikasta tulee toinen luontosi – taito, joka palvelee sinua minne tahansa maailmanlaajuinen matkasi sinut viekin.